Pinturas do AUwe

 UF-PE - Dois cubos $C_{1}$ e $C_{2}$ são tais que a aresta de $C_{1}$ é igual a diagonal de $C_{2}$. Se $V_{1}$ e $V_{2}$ são, respectivamente, os volumes dos cubos de $C_{1}$ e $C_{2}$, então, a razão $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ é igual a: a) $\sqrt[3]{3}$      b) $\sqrt{27}$      c) $\frac{1}{\sqrt{27}}$      d) $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$      e) $\sqrt[3]{9}$ Solução: Volume de $C_{1} = (a\sqrt{3})^{3}$ e o Volume de $C_{2} = a^{3}$. Logo: Resposta correta: letra b)

  Sejam $C$, $D$ e $A$ três pontos colineares distintos. Dado que $\triangle BCD$ e $\triangle BDA$ possuem a mesma altura $h$, temos que: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\triangle BCD}{\triangle BDA} = \frac{\frac{x\cdot h}{2}}{\frac{y\cdot h}{2}}= \frac{x}{y}$ Assim,  $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{x}{y}$ A mediana, além de dividir o lado, divide também a área ao meio. $\frac{S_{1}}{x}=\frac{S_{2}}{x} \rightarrow S_{1}=S_{2}$   Demostração do teorema de Ceva utilizando relações entre áreas $X = S_{APB}$          $Y = S_{BPC}$          $Z = S_{CPA}$ $(1) \rightarrow \frac{AG}{GB} = \frac{S_{CPA}}{S_{BPC}}= \frac{Z}{Y} $ $(2) \rightarrow \frac{BE}{EC} = \frac{S_{APB}}{S_{CPA}}= \frac{X}{Z}$ $(3) \rightarrow \frac{CF}{FA} = \frac{S_{BPC}}{S_{APB}}= \frac{Y}{X}$ Efetuando as multiplicações, membro a membro, das relações (1), (2) e (3), temos: $\frac{AG}{GB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=\frac{Z}{Y}\cdot \frac{X}{Z}\cdot \fr...

ITA - SP | O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo de cilindro. Então, a área total do cilindro, em $m^{2}$, vale: a) $\frac{3\pi ^{2}}{4}$        b) $\frac{9\pi \left ( 2 + \pi  \right )}{4}$     c) $\pi \left ( 2 + \pi  \right )$        d) $\frac{\pi ^{2}}{2}$      e)$\frac{3\pi \left ( \pi + 1 \right )}{2}$ Solução: A área da secção é dada por base x altura. A base b  da secção é igual ao diâmetro d do cilindro . Logo, $A_{sec}= b\cdot h = d\cdot h = 3h$ Como a área da secção é igual a área da base do cilindro, vamos igualar as duas para encontrar o valor de h. Em seguida colocaremos o valor encontrado na fórmula da área total do cilindro.   Assim temos:    A área total é: $A_{total} = A_{lateral} + 2A_{base}$ $\rightarrow A_{t} = 2\pi r\cdot h + 2 \cdot \pi r^{2}$...

PUC-SP Um cilindro é equivalente - mesmo volume - a uma pirâmide regular de base quadrada. O raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$. Sabendo-se que o cilindro e a pirâmide têm alturas iguais, então o raio da base do cilindro é: a) $\pi$      b) $\frac{\pi }{2}$     c) 1       d) $\frac{1}{2}$      e) Nenhuma das anteriores está correta Solução: O Volume da pirâmide é $V_{p}=\frac{1}{3}\cdot A_{b}\cdot h$. A área da base $A_{b}$  é o lado ao quadrado $l^{2}$. Como o raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$, o lado mede $2\frac{\sqrt{3\pi }}{2}\rightarrow l=\sqrt{3\pi }$  Assim, sabendo que a pirâmide e o cilindro tem volume e alturas iguais, vamos ter: $\pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}A_{b}\cdot h$ $\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot l^{2} \cdot h$  $\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\sqrt{3\pi }^{2} ...

Calcule a razão $\frac{A_{l}}{A_{t}}$, onde $A_{l}$ é a área lateral e  $A_{t}$  é a área total de um cilindro equilátero de raio da base R. Solução: Como em um cilindro equilátero a altura é igual a duas vezes o raio, vamos ter:  $A_{l} = 2\pi rh \rightarrow A_{l}= 2\pi R\cdot 2R \rightarrow A_{l}=4\pi R^{2}$ A área total é a lateral mais duas vezes a área da base. Assim:  $A_{t}=A_{l}+2B \rightarrow A_{t}=4\pi R^{2}+2\pi R^{2}\rightarrow A_{t}=6\pi R^{2}$ Logo,$\frac{A_{l}}{A_{t}} = \frac{4\pi R^{2}}{6\pi R^{2}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$  Resposta:$\frac{A_{l}}{A_{t}} =\frac{2}{3}$ 

(Mackenzie-SP) A altura de um cilindro é 20 cm. Aumentado-se 5 cm o raio da base desse cilindro, a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro. O raio da base do primeiro cilindro é igual a: a) 10 cm          b) 8 cm          c) 12 cm          d) 5 cm          e) 6 cm Resolução: A fórmula da área lateral de um cilindro é: Assim, a área lateral do novo cilindro fica: Por sua vez, a área total do cilindro tem a seguinte fórmula: Logo, para área total do primeiro, temos: De acordo com o enunciado, aumentado-se 5 cm o raio da base desse  cilindro, a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro.  Logo: Resposta correta: a) 10 cm

O Volume de um tronco de cilindro circular reto é de $45\pi cm^{3}$. Calcule a medida do raio de uma secção reta desse tronco, sabendo que tem geratriz maior e menor medindo 8 cm e 2 cm. Resolução: O volume de um tronco de cilindro tem a seguinte fórmula: $V_{tc}= \frac{\pi r^{2}\left ( G + g \right )}{2}$   Sabemos que a geratriz maior G = 8 cm e a menor g = 2 cm. Colocando estes valores na fórmula, temos: $\frac{\pi r^{2}\left ( 8 + 2 \right )}{2}= 45\pi \Rightarrow  \frac{10\pi r^{2}}{2} = 45\pi  \Rightarrow 5\pi r^{2} = 45\pi \Rightarrow r^{2}= \frac{45}{5}\Rightarrow r^{2}=9 \Rightarrow r = \sqrt{9} \Rightarrow r = 3$ Resposta: a medida do raio é igual a 3 cm

Papiro de Rhind – Museu Britânico U m dos primeiros registros encontrado sobre o cilindro está no Papiro de Rhind. Nele encontramos a fórmula para o cálculo do volume de um silo cilíndrico. Dados o diâmetro e  a altura, volume era dados por: