Um cilindro é equivalente - mesmo volume - a uma pirâmide regular de base quadrada. O raio da circunferência... Resposta comentada

PUC-SP Um cilindro é equivalente - mesmo volume - a uma pirâmide regular de base quadrada. O raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$. Sabendo-se que o cilindro e a pirâmide têm alturas iguais, então o raio da base do cilindro é:

a) $\pi$      b) $\frac{\pi }{2}$     c) 1       d) $\frac{1}{2}$      e) Nenhuma das anteriores está correta

Solução:

O Volume da pirâmide é $V_{p}=\frac{1}{3}\cdot A_{b}\cdot h$. A área da base $A_{b}$  é o lado ao quadrado $l^{2}$. Como o raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$, o lado mede $2\frac{\sqrt{3\pi }}{2}\rightarrow l=\sqrt{3\pi }$ 

Assim, sabendo que a pirâmide e o cilindro tem volume e alturas iguais, vamos ter:

$\pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}A_{b}\cdot h$

$\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot l^{2} \cdot h$

 $\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\sqrt{3\pi }^{2} \cdot h$ 

$\rightarrow \pi r^{2}=\frac{1}{3}\cdot 3\pi$ 

$\rightarrow r^{2}=1$

$\rightarrow r=\sqrt{1}$

$\rightarrow r=1$

Resposta: O raio da base do cilindro é igual a 1. letra c