Relação entre área e base de um triângulo

 

Sejam $C$, $D$ e $A$ três pontos colineares distintos. Dado que $\triangle BCD$ e $\triangle BDA$ possuem a mesma altura $h$, temos que:

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\triangle BCD}{\triangle BDA} = \frac{\frac{x\cdot h}{2}}{\frac{y\cdot h}{2}}= \frac{x}{y}$

Assim,  $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{x}{y}$

A mediana, além de dividir o lado, divide também a área ao meio.

$\frac{S_{1}}{x}=\frac{S_{2}}{x} \rightarrow S_{1}=S_{2}$

 

Demostração do teorema de Ceva utilizando relações entre áreas

$X = S_{APB}$          $Y = S_{BPC}$          $Z = S_{CPA}$

$(1) \rightarrow \frac{AG}{GB} = \frac{S_{CPA}}{S_{BPC}}= \frac{Z}{Y} $

$(2) \rightarrow \frac{BE}{EC} = \frac{S_{APB}}{S_{CPA}}= \frac{X}{Z}$

$(3) \rightarrow \frac{CF}{FA} = \frac{S_{BPC}}{S_{APB}}= \frac{Y}{X}$

Efetuando as multiplicações, membro a membro, das relações (1), (2) e (3), temos:

$\frac{AG}{GB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=\frac{Z}{Y}\cdot \frac{X}{Z}\cdot \frac{Y}{X}$

Assim obtemos a expressão desejada

$\frac{AG}{GB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}= 1$